lunes, 25 de junio de 2012

Blog de Algebra Lineal

Bienvenidos a Mi blog:

Mi nombre es Maria del Pilar Huerta Ramos

Aqui les presento una sintesis sobre el Algebra Lineal  y las matrices.

Espero que les ayude a  Comprender y Aprender.

Aprendamos a Colaborar, a Buscar y a Enseñar.

Ese es el objetivo de este Blog, Conocer los conceptos y propiedades principales de los sistemas lineales y las matrices.


ALGEBRA LINEAL

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión)

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal


En el siguiente Link, encontramos unos apuntes de  ALGEBRA LINEAL:  Juan González-Meneses López. / Curso 2008/2009

Estos apuntes ayudaran a  comprender el Algebra Lineal, es un Trabajo bien elaborado y util para la materia.


SISTEMAS LINEALES

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
\left \{ \begin{array}{rcrcrcr} 3 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & \,x_3 & = & 1 \\ 2 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\ - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2 & - & \,x_3 & = & 0 \end{array} \right .
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:
\begin{matrix} a_{11}x_1 & + a_{12}x_2 & + \dots & + a_{1n}x_n & = b_1 \\ a_{21}x_1 & + a_{22}x_2 & + \dots & + a_{2n}x_n & = b_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m \end{matrix}
Donde x_1,\dots,x_n\, son las incógnitas y los números a_{ij}\in\mathbb{K} son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo \mathbb{K}\ [= \R, \mathbb{C}, \dots]. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:
(1) \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
\mathbf{Ax} = \mathbf{b}
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.
PRESENTACION PHOTOPEACH SISTEMAS LINEALES
Ecuaciones Lineales con PhotoPeach


A continuación tenemos un video elaborado por La economista : Ana Abad Para la Universidad Tecnica Particular de Loja (UTPL)
Este video contiene información de algebra lineal sobre los temas de: Sistemas Lineales, Matrices y Vectores.








 CONCEPTO DE MATRIZ

En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Llamaremos matriz de orden (nxm) sobre el cuerpo de los números reales a un conjunto de números reales dispuestos en n filas y m columnas de la siguiente forma:
 
 
 
Consideraciones
1. Las matrices se designan con una letra mayúscula, como A, B, C , D , etc.
Ejemplo:

2. La dimensión u orden de una matriz, está dado por la cantidad de filas (n) y la cantidad de columnas (m) que esta tenga y se denota por (nxm).
Ejemplo:

3. Cada elemento de la matriz corresponde a un número real representado de la forma (aij) donde  i corresponde a la posición de fila y  j corresponde a la posición de la columna dentro de la matriz.

Ejemplo:
Donde:

4. La cantidad de elementos de la matriz se determina multiplicando la cantidad de filas por la cantidad de columnas.
Ejemplo:

De ahora en adelante, denotaremos por A(nxm) o simplemente A, a una matriz cualquiera de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los números reales.

MATRICES IGUALES
Diremos que dos matrices son iguales, si tienen el mismo orden o dimensión y los elementos que se encuentran en la  misma posición, son iguales. Esto es:
La idea es que dos matrices son diferentes si difieren en al menos un elemento.
Ejemplo:
Luego, A = B.


Suma o adición de matrices

Sean A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}). Se define la operación de adición de matrices como una operación bianria +:\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) tal que (A,B)\mapsto C=A+B y donde c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,\! en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo \mathbb{K}. Por ejemplo, la entrada c_{12}\,\! es igual a la suma de los elementos a_{12}\,\! y b_{12}\,\! lo cual es a_{12}+b_{12}\,\!.
Veamos un ejemplo más explícito. Sea A,B\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}
A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un campo serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Ésto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz.

Suma y resta de matrices
 
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
 
Ejemplo:
 
 
   
 
Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.
 
Ejemplo:
     
 
 
 

A continuación tenemos un video de la suma y Resta de matrices. Elaborado por Juanmemo
En este vídeo se calcula la suma de dos matrices:



 MUTIPLICACION DE MATRICES


En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas reglas.
Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.

Multiplicación de una matriz por un escalar:

Dada una matriz A de m filas y n columnas es una matriz del tipo:
A = \begin{pmatrix} a_{1 1} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m n} \end{pmatrix} que se escribe genericamente como A:=(a_{i j})_{m \times n}.
la multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA es:
kA = \begin{pmatrix} ka_{1 1} & \cdots & ka_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m 1} & \cdots & ka_{m n} \end{pmatrix} que se escribe genericamente como kA:=(k\cdot a_{i j})_{m \times n}.
En el caso particular de multiplicación por enteros, se puede considerar como sumar o restar la misma matriz tantas veces como indique el escalar:
n \times A = \underbrace{A + \dots\ + A}_n

Propiedades

Sean A, B matrices y c, d escalares, la multiplicación de matrices por escalares cumple con las siguientes propiedades:
Propiedad Descripción
Clausura cA es también una matriz
Elemento neutro Existe el elemento neutro uno, de manera que 1·A = A
Propiedad asociativa (cd)A = c(dA)
Propiedad distributiva
- De escalar
- De matriz
c(A+B) = cA+cB
(c+d)A = cA+dA

Multiplicación de una matriz por otra matriz


Los resultados en las posiciones  marcadas dependen de las filas y columnas de sus respectivos colores.
Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:
A:=(a_{ij})_{m \times n} y B:=(b_{ij})_{n \times p}
la multiplicación de A por B, que se denota A \cdot B, \; A \times B, \; A \circ B o simplemente AB, el resultado del producto es una nueva matriz C:
C=AB:=(c_{ij})_{m \times p}
donde cada elemento ci,j está definido por:
c_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj}
es decir:
C = AB_{}^{} = \begin{pmatrix} a_{1 1} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m n} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{1 1} & \cdots & b_{1 p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n 1} & \cdots & b_{n p} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+ \cdots +a_{1n}b_{n1} & \cdots & a_{11}b_{1p}+ \cdots +a_{1n}b_{np} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}b_{11}+ \cdots +a_{mn}b_{n1} & \cdots & a_{m1}b_{1p}+ \cdots +a_{mn}b_{np} \end{pmatrix}


 A continuacion tenemos un video elaborado por el Profesor Julio Rios de Colombia sobre LA MULTIPLICACION DE MATRICES:




MATRIZ INVERSA


Dada una matriz A, ¿Podremos encontrar otra matriz B tal que A·B=B·A=I?
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas.
Condición necesaria y suficiente para que una matriz sea invertible es que no sea singular, es decir, que su determinante sea no nulo |A| ≠ 0

Cálculo de la matriz inversa

1. Método de Gauss-Jordan
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.
matriz inversa

La matriz inversa de A es matriz inversa

A continuacion tenemos un video elaborado Por Unicoos / Matematicas Sobre La matriz inversa por el Método de Gauss Jordan:





Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones



Ejercicios de Matrices




Determinante (matemática)

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Métodos de cálculo

Artículos principales: Teorema de Laplace y Regla de Sarrus.
Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.
Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.
La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:
\det(A) = \sum_{\sigma \in P_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}.\
donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σi. El conjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).
En cualquiera de los n! sumandos, el término
\prod_{i=1}^n a_{i, \sigma_i}\
denota el producto de las entradas en la posición (i, σi), donde i va desde 1 hasta n:
a_{1, \sigma_1} \cdot a_{2, \sigma_2} \cdots a_{n, \sigma_n}.\
La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en casos muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas.

Matrices de orden inferior

El caso de matrices de orden inferior (orden 1, 2 ó 3) es tan sencillo que su determinante se calcula con sencillas reglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema de Laplace.
Una matriz de orden uno, es un caso trivial, pero lo trataremos para completar todos los casos. Una matriz de orden uno puede ser tratada como un escalar, pero aquí la consideraremos una matriz cuadrada de orden uno:
A = \begin{pmatrix} a_{11} \end{pmatrix}
El valor del determinante es igual al único termino de la matriz:
\det A = \det \begin{pmatrix} a_{11} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} \end{vmatrix} = a_{1,1}
Los determinantes de una matriz de orden 2:
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}
se calculan con la siguiente fórmula:
\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{1,1} a_{2,2} - a_{1,2} a_{2,1}
Dada una matriz de orden 3:
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
En determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:
\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =
= \; a_{1,1} a_{2,2} a_{3,3} + a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1} + a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2} - (a_{1,3} a_{2,2} a_{3,1} + a_{1,2} a_{2,1} a_{3,3} + a_{1,1} a_{2,3} a_{3,2})

Determinantes de orden superior

El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o columna, reduciendo el problema al cálculo de un determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su cofactor (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es el número de fila y j el número de columna). La suma de todos los productos es igual al determinante.
En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden 3 que podrán ser calculados por la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar los elementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por el mismo método, para obtener determinantes de orden 3. Por ejemplo, para obtener con el método especificado un determinante de orden 4, se deben calcular 4 determinantes de orden 3. En cambio, si previamente se logran tres ceros en una fila o columna, bastara con calcular solo un determinante de orden 3 (ya que los demás determinantes estarán multiplicados por 0, lo que los anula).
La cantidad de operaciones aumenta muy rápidamente. En el peor de los casos (sin obtener ceros en filas y columnas), para un determinante de orden 4 se deberán desarrollar 4 determinates de orden 3. En un determinante de orden 5, se obtienen 5 determinates de orden 4 a desarrollar, dándonos 20 determinates de orden 3. El número de determinates de orden 3 que se obtienen en el desarrollo de un determinante de orden n es igual a (n!) \over (3!)
Por ejemplo, mediante este método, para un determinante de orden 10 se deberán calcular 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 604.800 determinantes de orden 3.
También puede utilizarse el Método de eliminación Gaussiana, para convertir la matriz en una matriz triangular. Si bien el proceso puede parecer tedioso, estará muy lejos de los 14.529.715.200 de determinantes de orden 3 necesarios para calcular el determinante de una matriz de orden 14.

Métodos numéricos

Para reducir el coste computacional de los determinantes a la vez que mejorar su estabilidad frente a errores de redondeo, se aplica la regla de Chio, que permite utilizar métodos de triangularización de la matriz reduciendo con ello el cálculo del determinante al producto de los elementos de la diagonal de la matriz resultante. Para la triangularización se puede utilizar cualquier método conocido que sea numéricamente estable. Éstos suelen basarse en el uso de matrices ortonormales, como ocurre con el método de Gauss o con el uso de reflexiones de Householder o rotaciones de Givens.
La precisión limitada del cálculo numérico produce incertidumbre en ocasiones en los resultados de este método. Un valor muy pequeño del determinante podría ser el resultado de una matriz de rango deficiente, aunque no lo es necesariamente. Por otra parte, para matrices casi singulares el resultado no siempre es preciso. Es necesario comprobar el rango de la matriz con otros métodos o calcular el número de condición de la matriz para determinar la fiabilidad del resultado.

Determinantes en dimensión infinita

Bajo ciertas condiciones puede definirse el determinante de aplicaciones lineales de un espacio vectorial de Banach de dimensión infinita. En concreto en el determinante está definido para los operades de la clase de determinante que puede a partir de los operadores de la clase de traza. Un ejemplo notable fue el determinante de Fredholm que éste definió en conexión con su estudio de la ecuación integral que lleva su nombre:
(*) f(x) = \phi(x) + \int_0^1 K(x,y)\phi(y)\ dy
Donde:
f(x)\, es una función conocida
\phi(x)\, es una la función incógnita
K(x,y)\, es una función conocida llamada núcleo, que da lugar al siguiente operador lineal compacto y de traza finita en el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en el intervalo [0,1]:
\hat{K}:L^2[0,1]\to L^2[0,1], \quad (\hat{K}\phi)(x) = \int_0^1 K(x,y)\phi(y)\ dy :
La ecuación (*) tiene solución si el determinante de Fredholm \scriptstyle \det(I+\hat{K}) no se anula. El determinante de Fredholm en este caso generaliza al determinante en dimensión finita y puede calcularse explícitamente mediante:
\det(I+\hat{K}) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\int_0^1\dots\int_0^1 \det[K(x_i,x_j)]_{1\le i, j \le k}\ dx_1\dots dx_k
La propia solcuión de la ecuación (*) puede escribirse de manera simple en términos del determinante cuando este no se anula.

Primeros ejemplos: áreas y volúmenes

El cálculo de áreas y volúmenes bajo forma de determinantes en espacios euclídeos aparecen como casos particulares de una noción más general de determinante. La letra mayúscula D (Det) se reserva a veces para distinguirlos.

Determinante de dos vectores en el plano euclídeo


Fig. 1. El determinante es el área azul orientada.
Sea P el plano euclídeo. El determinante de los vectores X y X' se obtiene con la expresión analítica
\det(X,X')=\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y'\end{vmatrix}=xy'-yx'
o, de manera equivalente, por la expresión geométrica
\det(X,X')=\|X\|\cdot\|X'\|\cdot\sin \theta
en la cual \theta es el ángulo orientado formado por los vectores X y X'.

Propiedades

  • El valor absoluto del determinante es igual a la superficie del paralelogramo definido por X y X' ( X\sin \theta es en efecto la altura del paralelogramo, por lo que A = Base × Altura).
  • El determinante es nulo si y sólo si los dos vectores son colineales (el paralelogramo se convierte en una línea).
  • Su signo es estrictamente positivo si y sólo si la medida del ángulo (X, X ') se encuentra en ]0,\pi[.
  • La aplicación del determinante es bilineal: la linearidad respecto al primer vector se escribe
\det(aX+bY,X')=a\det(X,X')+b\det(Y,X')\;
y respecto al segundo
\det(X,aX'+bY')=a\det(X,X')+b\det(X,Y')\;

Fig. 2.Suma de las áreas de dos paralelogramos adyacentes.
La figura 2, en el plano, ilustra un caso particular de esta fórmula. Representa dos paralelogramos adyacentes, uno definido por los vectores u y v (en verde), y otro por los vectores u' y v (en azul). Es fácil ver sobre este ejemplo el área del paralelogramo definido por los vectores u+u' y v (en gris): es igual a la suma de los dos paralelogramos precedentes a la cual se sustrae el área de un triángulo y se añade el área de otro triángulo. Ambos triángulos se corresponden por translación y la fórmula siguiente se verifica Det (u+u', v)=Det (u, v)+Det (u', v).
El dibujo corresponde a un caso particular de la fórmula de bilinealidad ya que las orientaciones han sido elegidas de manera que las áreas tengan el mismo signo, aunque ayuda a comprender el contenido geométrico.

Generalización

Es posible definir la noción de determinante en un plano euclídeo orientado con una base ortonormal directa B utilizando las coordenadas de los vectores en esta base. El cálculo del determinante da el mismo resultado sea cual sea la base ortonormal directa elegida para el cálculo.

Determinante de tres vectores en el espacio euclídeo

Sea E el espacio euclídeo orientado de dimensión 3. El determinante de tres vectores de E se da por
\det(X,X ',X '')=\begin{vmatrix} x & x' &x''\\ y & y'&y''\\ z&z'&z'' \end{vmatrix}=x \begin{vmatrix} y' & y'' \\ z' & z''\end{vmatrix} - x' \begin{vmatrix} y & y'' \\ z & z''\end{vmatrix} + x'' \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z'\end{vmatrix} = xy'z''+x'y''z+x''yz'-xy''z'-x'yz''-x''y'z.

Fig. 3. Ilustración gráfica de la trilinealidad.
Este determinante lleva el nombre de producto mixto.

Propiedades

  • El valor absoluto del determinante es igual al volumen de paralelepípedo definido por los tres vectores.
  • El determinante es nulo si y sólo si los tres vectores se encuentran en un mismo plano (paralelepípedo "plano").
  • La aplicación determinante es trilineal: sobre todo
\det(aX+bY,X ',X '')=a\det(X,X ',X '')+b\det(Y,X ',X '')\,
Una ilustración geométrica de esta propiedad se da en la figura 3 con dos paralelepípedos adyacentes, es decir con una cara común. La igualdad siguiente es entonces intuitiva:
\det(u+u', v,w)=\det(u, v,w)+\det(u', v,w)\,.

Propiedades

  • El determinante de una matriz es un invariante algebraico, lo cual implica que dada una aplicación lineal todas las matrices que la represente tendrán el mismo determinante. Eso permite definir el valor del determinante no sólo para matrices sino también para aplicaciones lineales.
  • El determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden: \det(A^t)=\det(A)\,

Determinante del producto

  • Una propiedad fundamental del determinante es su comportamiento multiplicativo frente al producto de matrices:
\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A})\cdot\det(\mathbf{B})
Esta propiedad es más trascendente de lo que parece y es muy útil en el cálculo de determinantes. En efecto, supongamos que queremos calcular el determinante de la matriz \mathbf{A} y que \mathbf{U} es cualquier matriz con derminante uno (el elemento neutro respecto al producto del cuerpo). En este caso, se verifica que:
\det(\mathbf{A}) \; = \; \det(\mathbf{A})\cdot\det(\mathbf{U}) \; = \; \det(\mathbf{AU}) \quad \quad \det(\mathbf{A}) \;= \;\det(\mathbf{U})\cdot\det(\mathbf{A}) \; = \; \det(\mathbf{UA}) \,
Una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz. La matriz asociada a la composición de aplicaciones lineales entre espacios de dimensión finita se puede calcular mediante el producto de matrices. Dadas dos aplicaciones lineales u\, y v\,, se cumple lo siguiente:
\det(u\circ v) = \det(u)\cdot\det(v)
 A continuacion tenemos un video elaborado Por  Sobre  el
Calculo de determinantes para matriz de 3x3




A continuacion tenemos un video elaborado Por  2º BACHI unicoos Sobre la Resolucion de un DETERMINANTE 4X4 utilizando adjuntos (o cofactores), tambien llamado Metodo de LAPLACE. Para ello, deberemos elegir la fila o oclumna por la que queremos






A continuacion tenemos un video elaborado  Por  Sobre Como calcular el determinante de una matriz cuadrada de 3x3 por sarrus



Muchas Gracias por ingresar al Blog Conociendo las matemáticas.

Que tengan un Lindo dia.


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